home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ io Programmo 60 / IOPROG_60.ISO / soft / c++ / gsl-1.1.1-setup.exe / {app} / src / specfunc / legendre_Qn.c < prev    next >
Encoding:
C/C++ Source or Header  |  2002-04-18  |  9.8 KB  |  367 lines
  1. /* specfunc/legendre_Qn.c
  2.  * 
  3.  * Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 Gerard Jungman
  4.  * 
  5.  * This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  6.  * it under the terms of the GNU General Public License as published by
  7.  * the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or (at
  8.  * your option) any later version.
  9.  * 
  10.  * This program is distributed in the hope that it will be useful, but
  11.  * WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  12.  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the GNU
  13.  * General Public License for more details.
  14.  * 
  15.  * You should have received a copy of the GNU General Public License
  16.  * along with this program; if not, write to the Free Software
  17.  * Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA.
  18.  */
  19.  
  20. /* Author:  G. Jungman */
  21.  
  22. #include <config.h>
  23. #include <gsl/gsl_math.h>
  24. #include <gsl/gsl_errno.h>
  25. #include <gsl/gsl_sf_bessel.h>
  26. #include <gsl/gsl_sf_elementary.h>
  27. #include <gsl/gsl_sf_exp.h>
  28. #include <gsl/gsl_sf_pow_int.h>
  29. #include <gsl/gsl_sf_legendre.h>
  30.  
  31. #include "error.h"
  32.  
  33. /* Evaluate f_{ell+1}/f_ell
  34.  * f_ell := Q^{b}_{a+ell}(x)
  35.  * x > 1
  36.  */
  37. static
  38. int
  39. legendreQ_CF1_xgt1(int ell, double a, double b, double x, double * result)
  40. {
  41.   const double RECUR_BIG = GSL_SQRT_DBL_MAX;
  42.   const int maxiter = 5000;
  43.   int n = 1;
  44.   double Anm2 = 1.0;
  45.   double Bnm2 = 0.0;
  46.   double Anm1 = 0.0;
  47.   double Bnm1 = 1.0;
  48.   double a1 = ell + 1.0 + a + b;
  49.   double b1 = (2.0*(ell+1.0+a) + 1.0) * x;
  50.   double An = b1*Anm1 + a1*Anm2;
  51.   double Bn = b1*Bnm1 + a1*Bnm2;
  52.   double an, bn;
  53.   double fn = An/Bn;
  54.  
  55.   while(n < maxiter) {
  56.     double old_fn;
  57.     double del;
  58.     double lna;
  59.     n++;
  60.     Anm2 = Anm1;
  61.     Bnm2 = Bnm1;
  62.     Anm1 = An;
  63.     Bnm1 = Bn;
  64.     lna = ell + n + a;
  65.     an = b*b - lna*lna;
  66.     bn = (2.0*lna + 1.0) * x;
  67.     An = bn*Anm1 + an*Anm2;
  68.     Bn = bn*Bnm1 + an*Bnm2;
  69.  
  70.     if(fabs(An) > RECUR_BIG || fabs(Bn) > RECUR_BIG) {
  71.       An /= RECUR_BIG;
  72.       Bn /= RECUR_BIG;
  73.       Anm1 /= RECUR_BIG;
  74.       Bnm1 /= RECUR_BIG;
  75.       Anm2 /= RECUR_BIG;
  76.       Bnm2 /= RECUR_BIG;
  77.     }
  78.  
  79.     old_fn = fn;
  80.     fn = An/Bn;
  81.     del = old_fn/fn;
  82.  
  83.     if(fabs(del - 1.0) < 4.0*GSL_DBL_EPSILON) break;
  84.   }
  85.  
  86.   *result = fn;
  87.  
  88.   if(n == maxiter)
  89.     GSL_ERROR ("error", GSL_EMAXITER);
  90.   else
  91.     return GSL_SUCCESS; 
  92. }
  93.  
  94.  
  95. /* Uniform asymptotic for Q_l(x).
  96.  * Assumes x > -1.0 and x != 1.0.
  97.  * Discards second order and higher terms.
  98.  */
  99. static
  100. int
  101. legendre_Ql_asymp_unif(const double ell, const double x, gsl_sf_result * result)
  102. {
  103.   if(x < 1.0) {
  104.     double u   = ell + 0.5;
  105.     double th  = acos(x);
  106.     gsl_sf_result Y0, Y1;
  107.     int stat_Y0, stat_Y1;
  108.     int stat_m;
  109.     double pre;
  110.     double B00;
  111.     double sum;
  112.  
  113.     /* B00 = 1/8 (1 - th cot(th) / th^2
  114.      * pre = sqrt(th/sin(th))
  115.      */
  116.     if(th < GSL_ROOT4_DBL_EPSILON) {
  117.       B00 = (1.0 + th*th/15.0)/24.0;
  118.       pre = 1.0 + th*th/12.0;
  119.     }
  120.     else {
  121.       double sin_th = sqrt(1.0 - x*x);
  122.       double cot_th = x / sin_th;
  123.       B00 = 1.0/8.0 * (1.0 - th * cot_th) / (th*th);
  124.       pre = sqrt(th/sin_th);
  125.     }
  126.  
  127.     stat_Y0 = gsl_sf_bessel_Y0_e(u*th, &Y0);
  128.     stat_Y1 = gsl_sf_bessel_Y1_e(u*th, &Y1);
  129.  
  130.     sum = -0.5*M_PI * (Y0.val + th/u * Y1.val * B00);
  131.  
  132.     stat_m = gsl_sf_multiply_e(pre, sum, result);
  133.     result->err += 0.5*M_PI * fabs(pre) * (Y0.err + fabs(th/u*B00)*Y1.err);
  134.     result->err += GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  135.  
  136.     return GSL_ERROR_SELECT_3(stat_m, stat_Y0, stat_Y1);
  137.   }
  138.   else {
  139.     double u   = ell + 0.5;
  140.     double xi  = acosh(x);
  141.     gsl_sf_result K0_scaled, K1_scaled;
  142.     int stat_K0, stat_K1;
  143.     int stat_e;
  144.     double pre;
  145.     double B00;
  146.     double sum;
  147.  
  148.     /* B00 = -1/8 (1 - xi coth(xi) / xi^2
  149.      * pre = sqrt(xi/sinh(xi))
  150.      */
  151.     if(xi < GSL_ROOT4_DBL_EPSILON) {
  152.       B00 = (1.0-xi*xi/15.0)/24.0;
  153.       pre = 1.0 - xi*xi/12.0;
  154.     }
  155.     else {
  156.       double sinh_xi = sqrt(x*x - 1.0);
  157.       double coth_xi = x / sinh_xi;
  158.       B00 = -1.0/8.0 * (1.0 - xi * coth_xi) / (xi*xi);
  159.       pre = sqrt(xi/sinh_xi);
  160.     }
  161.  
  162.     stat_K0 = gsl_sf_bessel_K0_scaled_e(u*xi, &K0_scaled);
  163.     stat_K1 = gsl_sf_bessel_K1_scaled_e(u*xi, &K1_scaled);
  164.  
  165.     sum = K0_scaled.val - xi/u * K1_scaled.val * B00;
  166.  
  167.     stat_e = gsl_sf_exp_mult_e(-u*xi, pre * sum, result);
  168.     result->err  = GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val) * fabs(u*xi);
  169.     result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  170.  
  171.     return GSL_ERROR_SELECT_3(stat_e, stat_K0, stat_K1);
  172.   }
  173. }
  174.  
  175.  
  176.  
  177. /*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* Functions with Error Codes *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*/
  178.  
  179. int
  180. gsl_sf_legendre_Q0_e(const double x, gsl_sf_result * result)
  181. {
  182.   /* CHECK_POINTER(result) */
  183.  
  184.   if(x <= -1.0 || x == 1.0) {
  185.     DOMAIN_ERROR(result);
  186.   }
  187.   else if(x*x < GSL_ROOT6_DBL_EPSILON) { /* |x| <~ 0.05 */
  188.     const double c3 = 1.0/3.0;
  189.     const double c5 = 1.0/5.0;
  190.     const double c7 = 1.0/7.0;
  191.     const double c9 = 1.0/9.0;
  192.     const double c11 = 1.0/11.0;
  193.     const double y = x * x;
  194.     const double series = 1.0 + y*(c3 + y*(c5 + y*(c7 + y*(c9 + y*c11))));
  195.     result->val = x * series;
  196.     result->err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(x);
  197.     return GSL_SUCCESS;
  198.   }
  199.   else if(x < 1.0) {
  200.     result->val = 0.5 * log((1.0+x)/(1.0-x));
  201.     result->err  = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  202.     return GSL_SUCCESS;
  203.   }
  204.   else if(x < 10.0) {
  205.     result->val = 0.5 * log((x+1.0)/(x-1.0));
  206.     result->err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  207.     return GSL_SUCCESS;
  208.   }
  209.   else if(x*GSL_DBL_MIN < 2.0) {
  210.     const double y = 1.0/(x*x);
  211.     const double c1 = 1.0/3.0;
  212.     const double c2 = 1.0/5.0;
  213.     const double c3 = 1.0/7.0;
  214.     const double c4 = 1.0/9.0;
  215.     const double c5 = 1.0/11.0;
  216.     const double c6 = 1.0/13.0;
  217.     const double c7 = 1.0/15.0;
  218.     result->val = (1.0/x) * (1.0 + y*(c1 + y*(c2 + y*(c3 + y*(c4 + y*(c5 + y*(c6 + y*c7)))))));
  219.     result->err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  220.     return GSL_SUCCESS;
  221.   }
  222.   else {
  223.     UNDERFLOW_ERROR(result);
  224.   }
  225. }
  226.  
  227.  
  228. int
  229. gsl_sf_legendre_Q1_e(const double x, gsl_sf_result * result)
  230. {
  231.   /* CHECK_POINTER(result) */
  232.  
  233.   if(x <= -1.0 || x == 1.0) {
  234.     DOMAIN_ERROR(result);
  235.   }
  236.   else if(x*x < GSL_ROOT6_DBL_EPSILON) { /* |x| <~ 0.05 */
  237.     const double c3 = 1.0/3.0;
  238.     const double c5 = 1.0/5.0;
  239.     const double c7 = 1.0/7.0;
  240.     const double c9 = 1.0/9.0;
  241.     const double c11 = 1.0/11.0;
  242.     const double y = x * x;
  243.     const double series = 1.0 + y*(c3 + y*(c5 + y*(c7 + y*(c9 + y*c11))));
  244.     result->val = x * x * series - 1.0;
  245.     result->err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  246.     return GSL_SUCCESS;
  247.   }
  248.   else if(x < 1.0){
  249.     result->val = 0.5 * x * (log((1.0+x)/(1.0-x))) - 1.0;
  250.     result->err  = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  251.     return GSL_SUCCESS;
  252.   }
  253.   else if(x < 6.0) {
  254.     result->val = 0.5 * x * log((x+1.0)/(x-1.0)) - 1.0;
  255.     result->err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  256.     return GSL_SUCCESS;
  257.   }
  258.   else if(x*GSL_SQRT_DBL_MIN < 0.99/M_SQRT3) {
  259.     const double y = 1/(x*x);
  260.     const double c1 = 3.0/5.0;
  261.     const double c2 = 3.0/7.0;
  262.     const double c3 = 3.0/9.0;
  263.     const double c4 = 3.0/11.0;
  264.     const double c5 = 3.0/13.0;
  265.     const double c6 = 3.0/15.0;
  266.     const double c7 = 3.0/17.0;
  267.     const double c8 = 3.0/19.0;
  268.     const double sum = 1.0 + y*(c1 + y*(c2 + y*(c3 + y*(c4 + y*(c5 + y*(c6 + y*(c7 + y*c8)))))));
  269.     result->val = sum / (3.0*x*x);
  270.     result->err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  271.     return GSL_SUCCESS;
  272.   }
  273.   else {
  274.     UNDERFLOW_ERROR(result);
  275.   }
  276. }
  277.  
  278.  
  279. int
  280. gsl_sf_legendre_Ql_e(const int l, const double x, gsl_sf_result * result)
  281. {
  282.   /* CHECK_POINTER(result) */
  283.  
  284.   if(x <= -1.0 || x == 1.0 || l < 0) {
  285.     DOMAIN_ERROR(result);
  286.   }
  287.   else if(l == 0) {
  288.     return gsl_sf_legendre_Q0_e(x, result);
  289.   }
  290.   else if(l == 1) {
  291.     return gsl_sf_legendre_Q1_e(x, result);
  292.   }
  293.   else if(l > 100000) {
  294.     return legendre_Ql_asymp_unif(l, x, result);
  295.   }
  296.   else if(x < 1.0){
  297.     /* Forward recurrence.
  298.      */
  299.     gsl_sf_result Q0, Q1;
  300.     int stat_Q0 = gsl_sf_legendre_Q0_e(x, &Q0);
  301.     int stat_Q1 = gsl_sf_legendre_Q1_e(x, &Q1);
  302.     double Qellm1 = Q0.val;
  303.     double Qell   = Q1.val;
  304.     double Qellp1;
  305.     int ell;
  306.     for(ell=1; ell<l; ell++) {
  307.       Qellp1 = (x*(2.0*ell + 1.0) * Qell - ell * Qellm1) / (ell + 1.0);
  308.       Qellm1 = Qell;
  309.       Qell   = Qellp1;
  310.     }
  311.     result->val = Qell;
  312.     result->err = GSL_DBL_EPSILON * l * fabs(result->val);
  313.     return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_Q0, stat_Q1);
  314.   }
  315.   else {
  316.     /* x > 1.0 */
  317.  
  318.     double rat;
  319.     int stat_CF1  = legendreQ_CF1_xgt1(l, 0.0, 0.0, x, &rat);
  320.     int stat_Q;
  321.     double Qellp1 = rat * GSL_SQRT_DBL_MIN;
  322.     double Qell   = GSL_SQRT_DBL_MIN;
  323.     double Qellm1;
  324.     int ell;
  325.     for(ell=l; ell>0; ell--) {
  326.       Qellm1 = (x * (2.0*ell + 1.0) * Qell - (ell+1.0) * Qellp1) / ell;
  327.       Qellp1 = Qell;
  328.       Qell   = Qellm1;
  329.     }
  330.  
  331.     if(fabs(Qell) > fabs(Qellp1)) {
  332.       gsl_sf_result Q0;
  333.       stat_Q = gsl_sf_legendre_Q0_e(x, &Q0);
  334.       result->val = GSL_SQRT_DBL_MIN * Q0.val / Qell;
  335.       result->err = l * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  336.     }
  337.     else {
  338.       gsl_sf_result Q1;
  339.       stat_Q = gsl_sf_legendre_Q1_e(x, &Q1);
  340.       result->val = GSL_SQRT_DBL_MIN * Q1.val / Qellp1;
  341.       result->err = l * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  342.     }
  343.  
  344.     return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_Q, stat_CF1);
  345.   }
  346. }
  347.  
  348.  
  349. /*-*-*-*-*-*-*-*-*-* Functions w/ Natural Prototypes *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*/
  350.  
  351. #include "eval.h"
  352.  
  353. double gsl_sf_legendre_Q0(const double x)
  354. {
  355.   EVAL_RESULT(gsl_sf_legendre_Q0_e(x, &result));
  356. }
  357.  
  358. double gsl_sf_legendre_Q1(const double x)
  359. {
  360.   EVAL_RESULT(gsl_sf_legendre_Q1_e(x, &result));
  361. }
  362.  
  363. double gsl_sf_legendre_Ql(const int l, const double x)
  364. {
  365.   EVAL_RESULT(gsl_sf_legendre_Ql_e(l, x, &result));
  366. }
  367.